2021年7月5日14：00，暑期国际讲堂《非线性拓扑优化》在腾讯会议以及Zoom平台云上开课，该课程为期6天，分别为7月5日，7日，9日，11日，14日，16日。授课教师是来自的法国雷恩大学的BalajiRaghavan副教授。该课程参与者超过了30人。

       本课程主要面向具有数学和物理以及相关工程背景的学生，主要目标是介绍线性结构拓扑优化以及相关的材料非线性和几何非线性拓扑优化理论知识。从最基本的线性和非线性连续介质力学的形式化描述开始，介绍了材料行为等理论并且设计了使用MATLAB（2D和3D）进行有限元分析的专题模块。

      本课程具体内容涉及几大模块：

      首先是非线性连续介质力学，包括张量代数与微积分、拉格朗日法与欧拉法、变形（应变）运动学、压力测量、连续介质热力学与本构模型、非线性弹性、三维小应变与有限应变塑性。其次是有限元方法的介绍，主要内容包括基本有限元法与离散化、基于Matlab（体素网格）的二维线弹性有限元分析。

       其次是结构拓扑优化方法，着重讲了结构优化设计的基本思想，并结合99行Matlab代码进行基于SIMP方法的二维结构拓扑优化问题的编程实现演练，包括结构离散、单元节点编号、荷载及边界条件的施加、拓扑优化迭代求解、不同输入参数对拓扑结构的影响等。

      而后讲解了考虑材料和几何非线性的拓扑优化，主要内容包括大变形弹性、小应变塑性、有限应变塑性。详细讲解了优化准则法、移动渐近线法、修正的拉格朗日法求解非线性问题的不同。并扩展介绍了用Xia&Breitkopf的MATLAB程序进行微结构材料拓扑优化设计，讨论了用BESO方法进行材料体积模量最大化、剪切模量最大化、以及负泊松比材料优化等的程序实现。

       最后讲解了应力约束问题的重要性以及包括奇异解现象、局部性质、高度非线性行为等应力约束问题的难点，和目前解决这些问题的主要方法，并对可以解决的问题方向做了展望。

       Balaji Raghavan老师讲课循循善诱，善于启发学生进行自主思考，从弹性力学基本知识，到线性/非线性有限元分析，再到结构/材料的拓扑优化设计的详细讲解，开拓了学生们的眼界，使得学生对此领域有了基本的认识。Balaji老师授课期间，经常与学生问答互动，并采取PPT板书、线上运行程序等方式，激发了学生们的学习兴趣和热情。Balaji老师的授课方式受到了学生们的一致喜欢，授课效果非常好。通过这门课程的学习，学生们对弹性力学基本知识、有限元分析的基本思想、拓扑优化设计的基本步骤都有了清晰的认识，收获颇丰。

       最后分别的寄语和持续答疑解惑的跟进指导，让大家备受感动，期待专家下次更精彩的课堂！

       图文：肖曼玉   审核：都琳